Almost every verb takes avoir. The verbs in the house of être, plus every reflexive verb, take être.
FrenchLevel A2
Most verbs form the passé composé with avoir (j'ai mangé, j'ai vu, j'ai fait). About fifteen verbs of movement or change of state take être: aller, venir, arriver, partir, entrer, sortir, monter, descendre, naître, mourir, rester, tomber, devenir, retourner (and rentrer, revenir). Every reflexive verb takes être too: je me suis levé.
With être the past participle agrees with the subject like an adjective: il est allé, elle est allée, ils sont allés, elles sont allées. With avoir it normally stays the same: elle a mangé, ils ont mangé.
Examples
J'ai réservé au nom de Martin.
I booked a table under the name Martin.
Je suis arrivé en retard.
I arrived late.
Elle est née à Lyon.
She was born in Lyon.
Nous sommes restés à la maison.
We stayed at home.
Tu as vu ce film ?
Have you seen this film?
Je me suis levé tôt.
I got up early.
Common mistake
aller lives in the house of être: Je suis allé au cinéma, not J'ai allé. And with être the participle agrees: Elle est arrivée, with an extra e.